{\centering \nonumsubsection{B \hspace{1em} 组}}

\begin{xiaotis}
\setcounter{cntxiaoti}{18}

\xiaoti{写出数列的一个通项公式，使它的前 $4$ 项分别是下列各数：}
\begin{xiaoxiaotis}

    \xiaoxiaoti{$2$，$0$，$2$，$0$；}

    \xiaoxiaoti{$0.9$，$0.99$，$0.999$，$0.9999$。}

\end{xiaoxiaotis}


\xiaoti{已知数列 $\{a_n\}$ 的通项公式为 $a_n = n^2 - 11n + 10$。 从第几项起，这个数列中的项都是正数？都大于 $70$？}

\xiaoti{长方体的三条棱的长成等差数列，它的对角线的长是 $\sqrt{14}cm$，全面枳是 $22cm^2$，求它的体积。}

\xiaoti{三角形的三个内角成等差数列，它的面积是 $10\sqrt{3}cm^2$，周长是 $20cm$，求三角形三边的长。}

\xiaoti{已知 $\sin\theta$，$\sin\alpha$，$\cos\theta$ 成等差数列，$\sin\theta$，$\sin\beta$，$\cos\theta$
    成等比数列，求证 $2\cos2\alpha = \cos2\beta$。}

\xiaoti{求数列 $9$，$99$，$999$，$9999$，$\cdots$ 的前 $n$ 项的和。}

\xiaoti{已知 $a$，$b$，$c$ 成等比数列，$m$ 是 $a$，$b$ 的等差中项，$n$ 是 $b$，$c$ 的等差中项，
    求证 $\dfrac{a}{m} + \dfrac{c}{n} = 2$。}

\xiaoti{已知 $\{a_n\}$ 是等差数列，计算数列 $\left\{ \dfrac{1}{\sqrt{a_n} + \sqrt{a_{n+1}}} \right\}$
    的前 $n$ 项的和（提示：将各项的分母有理化）。}

\xiaoti{利用等比数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和的公式证明
    $$ a^n + a^{n-1}b + a^{n-2}b^2 + \cdots + b^n = \dfrac{a^{n+1} - b^{n+1}}{a - b} \text{，} $$
    这里 $n$ 是自然数，$a$，$b$ 是不为零的常数，且 $a \neq b$。
}

\xiaoti{用数学归纳法证明：
    $$ \dfrac{1}{2}\tan\dfrac{x}{2} + \dfrac{1}{2^2}\tan\dfrac{x}{2^2} + \cdots + \dfrac{1}{2^n}\tan\dfrac{x}{2^n} = \dfrac{1}{2^n}\cot\dfrac{x}{2^n} - \cot x \quad (x \neq k\pi,\; k \in Z) \text{。} $$
}


\xiaoti{用归纳法求数列
    $$ 1 \text{，} (1+2+1) \text{，} (1+2+3+2+1) \text{，} \cdots (1+2+\cdots+n+\cdots+2+1) \text{，} \cdots $$
    的通项公式及前 $n$ 项和的公式，然后用数学归纳法证明所得公式。
}


\xiaoti{一堆零件堆积如下图，第 $1$ 层 $1$ 个，第 $2$ 层 $1+2$ 个，第 $3$ 层 $1+2+3$ 个，……，
    求 $n$ 层的总个数，然后用数学归纳法证明所得公式。
}

\begin{figure}[htbp]
    \centering
    \input{../pic/ds2-ch2-fuxi-B-30.tex}
    \caption*{（第30题）}\label{fig:ch2-fuxi-B-30}
\end{figure}

\end{xiaotis}



